Dérivation, convexité - Spécialité
Étude de fonction : produit
Exercice 1 : Etude de fonctions avec exponentielle (x² + ax + b)*exp(x)
Soit la fonction \( f \) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto - \left(x^{2} + 10x + 51\right)e^{x} \]Déterminer la dérivée de \( f \).
Donner l'ensemble des solutions de \( f'(x) \leq 0 \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
Compléter le tableau de variation de \( f \).
Exercice 2 : Dérivées forme u.v : (ax+b).exp(c*x+d) (avec coefficients appartenant à Q*)
Écrire la dérivée de la fonction \(f\) sous une forme factorisée au maximum.
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition \( D \) = \( \mathbb{R} \) \[ f: x \mapsto \left(\dfrac{-1}{4}x + \dfrac{3}{5}\right)e^{\dfrac{-2}{3}x + \dfrac{-2}{3}} \]
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition \( D \) = \( \mathbb{R} \) \[ f: x \mapsto \left(\dfrac{-1}{4}x + \dfrac{3}{5}\right)e^{\dfrac{-2}{3}x + \dfrac{-2}{3}} \]
Exercice 3 : Etude de fonctions x*exp(ax+b) (avec a,b appartenant à Z \ {0})
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto xe^{9x + 7} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
Donner l'ensemble des solutions de \(f'(x) \lt 0\).
Compléter le tableau de variation de \(f\).
Exercice 4 : Etude de fonctions (ax²+bx+c)*exp(mx+p) (avec a,b,c,m,p appartenant à Z \ {0})
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto \left(x^{2} + x + 1\right)e^{x -1} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
Donner l'ensemble des solutions de \(f'(x) \leq 0\).
Compléter le tableau de variation de \(f\).
Exercice 5 : Étude détaillée d'une fonction difficile √x(ax² + bx + c)
Soit \(f\) la fonction suivante :
\[f: x \mapsto \sqrt{x}\left(\frac{2}{5}x^{2} + \frac{34}{3}x + 32\right)\]Déterminer \(f'\)
Étudier le signe de \(f'\) sur \(\left]0; +\infty\right[\).
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}^+\).